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椭圆长轴的长度(C: dfrac{x ^ 2}{a ^ 2}+ dfrac{y ^ 2}{b ^ 2}= 1(ab0))是\(2 sqrt{2},)焦距\(2,)抛物线\(M:y ^ 2 = 2px(p0))指南通过\(C )\(F的左焦点

求$(1)$ (C )和\(M )方程式$; $
$(2)$ line (l )通过\(C )的顶部顶点,\(l )和\(M )是\(P,Q )的两个点线\(FP,FQ )和\(M )点分别相交\(D )$($是点(P )\()),\(E )\(()与点\(Q )\())不同,证明\(:)行\(DE )的斜率是固定值。
简单的椭圆方程$(1)$ (C )是\[
C: dfrac{x ^ 2}{2}+ y ^ 2 = 1,]
因此,它的左焦点是(F(-1,0)),所以抛物线方程是\(M:y ^ 2 = 4x )。
$(2)$如下所示
问题集(P,Q,D,E )中四个点的坐标是\[
P(t_1 ^ 2,2t_1),Q(t_2 ^ 2,2t_2),D(t_3 ^ 2,2t_3),E(t_4 ^ 2,2t_4)。
]
由于线(PQ )的垂直交点是\(1 ),线\(DP,QE )的截面为\(-1 ),因此交点坐标公式为\[
begin{cases}
1 = dfrac{t_1 ^ 2 cdot2t_2-t_2 ^ 2 cdot2t_1}{t_1 ^ 2-t_2 ^ 2}= dfrac{2t_1t_2}{t_1 + t_2},\
-1 = dfrac{t_1 ^ 2 cdot2t_3-t_3 ^ 2 cdot2t_1}{2t_3-2t_1}= -t_1t_3,\
-1 = dfrac{t_2 ^ 2 cdot2t_4-t_4 ^ 2 cdot2t_2}{2t_4-2t_2}= -t_2t_4。
end{cases}]
因此,线的斜率(DE )是\[
K_{DE}= dfrac{2t_4-2t_3}{t_4 ^ 2-t_3 ^ 2}= dfrac{2}{t_3 + t_4}= dfrac{2}{ frac{1}{t_1}+ frac{1}{t_2}}= dfrac{2}{2}= 1。
]
证书已完成。


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